Bạn đang xem nội dung tài liệu Giáo án Giải tích: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên. Ch432417ngIV 654473.dang lg so phuc va ung dung.doc.
Từ công thức Moa - vrơ, dễ thấy số phức z rc i r os + sin , 0 có căn bậc hai là os + sin 2 2 rc i và os + sin os( + )+ sin( ) . 2 2 2 2 rc i r c i Để nắm được các kiến thức trên học sinh cần phải luyện tập khá nhiều bài tập, xin chú ý để
Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ (Moivre) để tính căn bậc n của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi tiết. Xem thêm: + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phức Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức
TÊN BÀI HỌC: ChươngIV §3 Giáo án đại số 12: LUYỆN TẬP: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Số tiết: VÀ ỨNG 1 DỤNG I/ Mục tiêu : + Về kiến thức : Giúp học sinh củng cố kiến thức: Acgumen của số phức; dạng lượng giác của số phức; công thức nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác; công thức Moa-vrơ) + Về
Cùng GOGA khám phá ngay về cấu trúc Had better trong bài viết sau đây nhé. …. Công thức: S + would rather + have + V3. Khớp với kết quả tìm kiếm: 1. You had better be careful or the car will crush on you2. You had better see the doctor3. You had better book the room in advance4. You had better not go outside.
- Dạng lượng giác của số phức (dành cho học sinh ban nâng cao): Cho số phức dưới dạng đại số, biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác, tìm acgumen, sử dụng công thức Moa-vrơ tìm lũy thừa bậc n của số phức; sử dụng dạng lượng giác để thực hiện phép toán giữa hai số phức.
8n991Y. Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó + Về kĩ năng Biết tìm acgumen của số phức Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a... Chủ đề đại số 12tài liệu đại số 12giáo án đại số 12bải giảng đại số 12lý thuyết đại số 12 Nội dung Text DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC & ỨNG DỤNG DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC & ỨNG DỤNG I/ Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức - Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức - Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác - Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó - + Về kĩ năng Biết tìm acgumen của số phức - Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức - Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác - Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a , cos3a - + Về tư duy và thái độ Rèn luyện tư duy lô gíc giữa số thực và số phức - Biết qui lạ về quen trong tính toán - Thái độ thấy được cái hay của số phức thông qua ứng dụng và thực tiễn - Rèn luyện tính cẩn thận , hợp tác trong học tập - II/ Chuẩn bị + Giáo viên Máy tính cầm tay + Bảng phụ vẽ các hình biểu diễn số phức. + Học sinh Xem trước bài dạy và chuẩn bị các câu hỏi cần thiết. Chuẩn bị MTCT III/ Phương pháp Phương pháp gợi mở + vấn đáp + Nêu và giải quyết vấn đề đan xen hoạt động nhóm. IV/ Tiến trình 1/ Ổn định tổ chức Kiểm danh , kiểm tra tác phong học sinh 2/ Kiểm tra bài cũ 5 phút Câu hỏi Giải phương trình bậc 2 sau trên C z2 + 2z + 5 = 0 1 Gọi 1 học sinh lên bảng giải; cả lớp theo dõi. 1 z + 12 = - 4 . Vậy z = - 1 2i Cho 1 học sinh nhận xét. Giáo viên nhận xét , chỉnh sửa và đánh giá cho điểm. 3/Bài mới Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng Tg T1 HĐ1 Số phức dưới dạng lương giác HĐ1 Acgumen của số Quan sát hình vẽ ở bảng 1/ Số phức dưới 15’ phức z 0 phụ. dạng lượng giác - Nêu định nghĩa 1 Tiếp thu định nghĩa. a/ Acgumen của số phức z 0 H1? Số phức z 0 có 1/Một học sinh quan sát ĐN 1 trên hình vẽ nhận xét trả Cho số phức z 0. bao nhiêu acgumen ? lời. Gọi M là điểm trong là 1acgumen của z thì mp phức biểu diễn số mọi acgumen của z có phức z. Số đo rad Nêu VD1SGK của mỗi góc lượng dạng + k2 . a/ Tìm acgumen của số giác tia đầu 0x,tia thực dương tùy ý. cuối 0M được gọi là 1 HS trả lời b/ Tìm acgumen của số một acgumen của z a/ Một acgumen là thực âm tùy ý. Chú ý SGK =0 c/ Tìm acgumen của số Tóm tắt lời giải VD1 b/ Một acgumen là 3i, -2i, 1 + i. = Dùng hình vẽ minh họa 1 học sinh trả lời và giải thích. c/ ,. , 224 HĐ2 Cho HS giải Biết số phức z 0 có 1acgumen ; Hãy tìm 1 Cho 2 HS đứng tại chỗ trả lời acgumen của mỗi số Tóm tắt lời giải của phức sau HS 1 z biểu diễn bởi HĐ2 1 OM thì –z bởi - z ; z ; z ; . z OM nên có acgumen là Gợi ý Dùng biểu diễn 2k 1 hình học của số phức để HS 2 - z có - tìm acgumen của nó. 2k 1 1 1 1 z 2 z có cùng z z. z z acgumen với z 20’ HĐ2 Dạng lượng giác của số phức . HĐ1 Từ hình vẽ giáo HS tiếp thu ĐN2 b/ Dạng lượng giác viên dẫn dắt đến định HS trả lời của số phức nghĩa 2 z = rcos i sin , a/ Tìm r , r = a 2 b 2 H? Để tìm dạng lượng 2/ thỏa trong đó r > 0 được Tìm giác của số phức gọi là dạng lượng a b cos , sin r r z = a + bi khác 0 ta cần giác của số phức z 1 HS đứng tại chỗ giải làm những bước nào? dạng số 2 2cos 0 + i sin 0 Nêu VĐ2 SGK z = a + bia,b R số -2 2 cos i sin Cho cả lớp giải sau đó được gọi là dạng đại số i cos i sin gọi từng HS trả lời. số của số phức z 2 2 i Tóm tắt các bước tìm Gợi ý Tìm r, . số 1 + dạng lượng giác của Nêu chú ý SGK i sin 2 cos 4 4 số phức z = a + bi Nêu VĐ3 SGK số 1 - 3i 1/ Tìm r Hướng dẫn đọc VĐ3 2 cos 2/ Tìm i sin 3 3 Tóm tắt lời giải VD2 Cả lớp giải theo nhóm. HĐ2 1 nhóm đại diện trình bày Tóm tắt lời giải hoạt Cho z = rcos +isin 1 1 động 2. z z r > 0. Tìm môđun và 1 1 1 1 a bi acgumen của từ đó 2 z z a bi a b 2 suy ra dạng lượng giác 1 1 1 z z 2 2 a b 1 của z 5’ HĐ3 Củng cố T1 1 Vậy = 2 H1 acgumen của số 1 Cos i sin phức r H2 Dạng LG của z gọi 3 HS trả lời H3 Nêu các bước biễu diễn số phức z = a + bi T2 HĐ 3 Nhân và chia số phức dưới dạng LG 15’ Từ HĐ2 ĐL 2/ Nhân và chia số HS tiếp thu ĐL hướng dẫn HS c/m ĐL phức dưới dạng LG ĐL sgk tìm = ? 1HS đúng tại chỗ giải z 1 z '. z' z 1+i = i sin 2 cos HĐ2 Nêu vd4 4 4 Tóm tắt lời giải vd4 1 i Tìm 3 + i = 2 cos i sin 6 6 3i H? Thực hiện phép 1 i 2 = 2 3i chia này dưới dạng đại i sin cos số 12 12 15’ HĐ4 Công thức Moa-vrơ và ứng dụng HĐ1 Nêu công thức HS tiếp thu công thức 3/ Công thức 1HS giải Moa- vrơ Moa-vrơ và ứng 1+i5 = dụng HĐ2 Nêu vd5 Tính 1+i5 5 a/Công thức 2 cos i sin 4 4 HD giải Moa- vrơSGK 5 5 = 2 5 cos i sin rcos i sin n= 4 4 rncosn +isinn 2 2 =4 2 - i 2 2 HĐ3 Nêu ứng dụng Xét khi r = 1 =-41+i H1 khai triển cos + i sin 3 b/ứng dụng và lời HS1 Trả lời H2 công thức Moa - giải HS2 Trả lời vrơ HS3 Đi đến KL từ đó suy ra H3 cos 3 , sin 3 c/Căn bậc hai của 1 HS trả lời số phức dưới dạng HĐ4 Căn bậc hai i sin r cos lượng giác của số phức dưới 2 2 dạng lượng giác Và - i sin r cos 2 2 Tính căn bậc hai của = Z = rcos + i sin r cos i sin với r > 0 2 2 5’ HĐ5 củng cố T2 + Nêu các phép toán nhân chia của số phức dưới dạng LG 1 HS tính + Nêu CT Moa – vrơ 6 = [2cos i sin ] 6 6 3 + i 6 + Tính =26cos + isin = - 26 4 Củng cố toàn bài 10’ cho 4 nhóm làm mỗi nhóm 1 câu trong 5’ - Đại diện từng nhóm trả lời Câu 1 Tìm acgumen của số phức z = 1 + 3 i KQ 1 acgumen là = 3 Câu 2 Tìm dạng LG của só phức z = 1 + i KQ z = 2 cos i sin 4 4 Câu 3 tính 1 - i 3 1+i KQ 2 2 cos i sin 12 12 i 2008 Câu 4 Tính 1 i 1 KQ - 1004 2 5 Hướng dẫn Sử dụng máy tính chuyển từ dạng đại số sang dạng LG của số phức . Đọc chú ý trang 206/ SGK Bài tập về nhà 32 đến 36 trang 207 Phụ lục Bảng phụ cho hình vẽ , , , sgk
Công thức moa vrơ Có thể bạn quan tâm Lực là gì vật lý 6? Công thức tính lực? Ý nghĩa của câu Nhàn cư vi bất thiện Tuổi Bính Thìn 1976 hợp hướng nào và không hợp hướng nào? Lời dẫn chương trình văn nghệ 20/11 hay nhất 10 mẫu Lời dẫn chương trình ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11 Phân tích Ông Đồ của Vũ Đình Liên 11 mẫu – Văn 8 Video Công thức moa vrơ Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức moa-vre moivre để tính căn bậc hai $n$ của một số phức, thông qua quá trình xây dựng công thức tổng quát và các ví dụ minh họa kèm theo. Miêu tả cụ thể. Bạn Đang Xem Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức Xem thêm + Viết số phức dưới dạng hàm lượng giác + Tìm căn bậc hai của số phức Xem Thêm Trend là gì? Đú trend là gì? Hot Trending Marketing năm nay là?Phương pháp1. Tính căn bậc hai của một số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ sao cho ${w ^2} = z$. + căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $ r > 0.$ Đặt $w = rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ và $r >; 0$ Sau đó ${{\rm {w}} ^2} = z$ ⇔ ${r^2}c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta = rc{\rm{ os}} varphi + i \sin \varphi $ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {r^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in z \end{array} \right.$ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{ array}{l} r = \sqrt r \ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in z \end{array} \right .$ Từ đây Complex $z = r c{ rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ có $2$ và căn bậc hai là ${{\rm {w} }_1} = \sqrt r left {c{ rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{ 2}} \right$ và ${{ \rm{w}} _2} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\left {\frac{ varphi } {2} + \pi } right + i \ sin \left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right} \right $ $ = – \sqrt r \left {c{\rm{ os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right .$ 2. Tính căn bậc hai của một số phức $n$Căn bậc hai $n$ của một số phức $z$ là một số phức $w$ sao cho ${w^n} = z$. trong đó $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ trong đó $r >; 0.$ set $w = r c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ và $r >; 0$ Sau đó ${{\rm{w}}^n} = z \leftrightarrow { r^n}c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta $ $ = rc{\rm{os} }\varphi + i \sin \varphi $ $ \leftrightarrow \left\{ \begin {array}{l} {r^n} = r\\ n\theta = varphi + k2\pi , k \in z \end{array} \right.$ $ \ leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = \sqrt[n ]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac {{k2\pi }}{n}, k \in z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$, chúng ta có được căn bậc hai $n$ của $n $ $z$ là ${w_1} = \sqrt[n ]{r }\left {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin frac{\varphi }{n}} \right.$ ${w_2} $ = $ \sqrt[n]{r}\left {\cos \left {\frac { \varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n }} right + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + frac{{2\pi }}{n}} \right} \ phải. $ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}\cos left {\frac{\varphi }{n} + \frac{ {2\pi n – 1}}{n}} \right$ $ + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1 }}{n}} \right.$ [ads]vVí dụ 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau và viết chúng dưới dạng hàm lượng giác ${\rm {w}} = \ frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$ Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i \sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right$ với $r > ; 0$ là căn bậc hai của $w$, ta có ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left {\cos 2\varphi + i\sin 2 varphi } \right$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \leftrightarrow \left\ { begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in z \end{array} right.$ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\ pi , k \in z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i \ sin frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7 pi } { 6}.$ Xem Thêm Những kiểu trang trí bảng lớp đẹp 2022Ví dụ 2. Tính căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + i\sqrt 3 .$ Ta có $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} } \right$ $ = 2\left {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3} } \right.$ suy ra rằng $w$ có mô đun $r = 2$ và lũy tích $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ nên căn bậc hai của $w$ là một số phức $z$ với modulo $r = \sqrt[3]{2}$ và acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{ k2 pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in z.$ Lấy $k = 0 , 1,2$ Khi đó $\varphi $ có ba giá trị ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \ frac { {2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\ varphi _3 } = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $ w = – 1 + i\sqrt 3 $ có căn bậc hai là $3$ ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{2 pi }}{ 9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left { \cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right$, ${z_3} = \ sqrt[3 ]{2}\left {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} right.$ Ví dụ 3. Tính căn bậc hai của các số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$ Ta có $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ môđun $r = 1$ và An bộ tích lũy $\theta = \frac{\pi }{2}.$ suy ra rằng căn bậc hai của $w$ là một số phức $z$ với modulo $r = 1$ và một bộ tích lũy $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi } }{2},k \in z.$ Lấy $k = ta được giá trị $4$ $\varphi$ ${\varphi _1} = \frac{ pi } {8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi } }{ 8 }$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\ varphi _4 } = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$ Nguồn Danh mục Giáo Dục Xem thêm AE888 – Nhà cái cá cược trực tuyến hấp dẫn nhất 2023 Tổng hợp Top 10+ có mấy cách nấu cơm [Đầy Đủ Nhất] Hướng dẫn, thủ thuật về Thủ thuật văn phòng Aspect ratio là gì? tìm hiểu thuật ngữ aspect ratio Giải Bài Tập Vật Lí 11 – Bài 5 Điện thế. Hiệu điện thế Soạn bài Viết quảng cáo Ngắn nhất Soạn văn 10 Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 149 sgk Hóa học 8 Cảm nhận khi đọc bài thơ Thiên trường vãn vọng của Trần Nhân Toán lớp 6 Kết nối tri thức Bài 13 Tập hợp các số nguyên 17 Kết bài chiếc thuyền ngoài xa giúp bạn đạt điểm tối đa Hệ bài tiết nước tiểu gồm các cơ quan? KHÁI NIỆM VÀ CÔNG THỨC TÍNH CÔNG, CÔNG CÔNG SUẤT Tác phẩm Bến quê Soạn văn 9 chi tiết Giải Bài Tập Sinh Học 9 – Bài 41 Môi trường và các nhân tố sinh thái
1 [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!! ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn. Dạng lượng giác của số phức được sử dụng nhằm khai căn số phức hoặc tính lũy thừa bậc cao của số phức một cách dễ dàng hơn. Nó là 1 cách biểu diễn khác của số phức. Cụ thể ta đã biết số phức z=a+bi có điểm biểu diễn trên mp tọa độ Oxy là Ma;b Giờ ta gọi góc tạo bở OM và Ox là góc [tex]\theta[/tex] Như vậy, độ dài a đại diện cho phần thực, còn b đại diện cho phần ảo của số phức. Ta có b=MH , a=OH , áp dụng lượng giác thì ta có [tex]a=OMcos\theta ; b=OMsin\theta[/tex] Mà theo Pitago ta có [tex]OM=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] Như vậy bây giờ số phức [tex]z=a+bi=\sqrt{a^2+b^2}cos\theta+i. sin\theta[/tex] Đặt [tex]r=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] , có thể thấy r là module của số phức z, lúc này z được biểu diễn dưới dạng lượng giác là [tex]z=rcos\theta+ với [TEX]\theta[/TEX] được gọi là 1 acgument của số phức z. Bởi vì tính chất tuần hoàn chu kì [tex]2\pi[/tex] của hàm cos và sin nên họ acgument của số phức z là [tex]\theta+k2\pi k\epsilon Z[/tex] [TEX]\theta[/TEX] được xác đinh bởi [tex]cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex] Ví dụ dạng lượng giác của số phức z=[tex]1+\sqrt{3}i[/tex] là? Ta có [tex]z=2\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=2cos\frac{\pi }{3}+sin\frac{\pi }{3}[/tex] Vậy số phức z có module là 2 và Acgument là [TEX]\frac{\pi }{3}[/TEX] Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng. Ta có công thức sau với dạng lượng giác của số phức [tex]z=rcos\theta + Công thức này rất hữu dụng trong việc ta tính lũy thừa bậc cao hay khai căn của một số phức. Trở lại ví dụ ban đầu, cho [tex]z=1+\sqrt{3}i[/tex] . Tính [tex]z^{10}[/tex] Có thể thấy nếu như ta không đưa về lượng giác mà tính thông thường [tex]1+\sqrt{3}i^{10}[/tex] Thì việc klhai triển và tính toán mất rất nhiều thời gian, thậm chí không tính được. Tuy nhiên khi đưa về dạng lượng giác thì mọi chuyện lại rất dễ dàng [tex]z=2cos\frac{\pi }{3}+ }{3}=>z^{10}=2^{10}cos\frac{10\pi }{3}+ }{3}[/tex] Vậy cách làm chung với các bài toán tính bậc cao của số phức z, đó là đưa z về dạng lượng giác, sau đó áp dụng công thức Moa-Vrơ Bài toán tính khai căn số phức. Vẫn tương tự bài toán tính bậc cao của số phức, tuy nhiên có lưu ý nhỏ sau đây. Vẫn sử dụng z đã cho ở trên, giờ ta tính [tex]\sqrt[4]{z}[/tex] Ta có [tex]\sqrt[4]{z}=z^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}cos\frac{1}{4}\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{4}+ }{3}+\frac{k2\pi }{4}=\sqrt[4]{2}cos\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}+ }{12}+\frac{k\pi }{2}[/tex] Như vậy lúc này thay 4 giá trị tương ứng là k=0,1,2,3 ta thu được 4 số phức tương ứng. Với k từ 4 trở đi thì chu kì lượng giác lại lặp lại Vậy tại sao khi khai căn lại cần thêm họ acgument số phức, trong khi lũy thừa lên lại không cần. Đó là bởi vì khi lũy thừa lên ta có được họ acgument là [tex]n\theta +nk2\pi[/tex] . Lúc này [TEX]nk2\pi [/TEX] thì dù k bằng bao nhiêu thì vẫn là 1 số nguyên lần chu kì, không ảnh hưởng gì, nên bỏ đi Còn khi khai căn thì họ acgument lúc này có [tex]\frac{k2\pi }{n}[/tex] , với các k khác nhau từ 0 đến n-1, cho ta các số phức khác nhau. Nói cách khác, thì lũy thừa của 1 số phức lên chỉ có 1 kết quả, còn khai căn bậc n số phức, cho ta n số phức kết quả. KB Đọc 88
Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$. Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt r \\ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in Z \end{array} \right.$ Từ đó suy ra Số phức $z = rc{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ có $2$ căn bậc hai là ${{\rm{w}}_1} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right$ và ${{\rm{w}}_2} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right + i \sin \left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right} \right$ $ = – \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right.$ 2. Tính căn bậc $n$ của số phức Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$. Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^n} = z \Leftrightarrow {R^n}c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta $ $ = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^n} = r\\ n\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt[n]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}, k \in Z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là ${w_1} = \sqrt[n]{r}\left {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin \frac{\varphi }{n}} \right.$ ${w_2}$ = $\sqrt[n]{r}\left {\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right} \right.$ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right$ $ + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right.$ Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${\rm{w}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$ Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left {\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi } \right$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}.$ Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + i\sqrt 3 .$ Ta có $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right$ $ = 2\left {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right.$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = \sqrt[3]{2}$ và một acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $\varphi $ có ba giá trị ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\varphi _3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $w = – 1 + i\sqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{2\pi }}{9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right$, ${z_3} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} \right.$ Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$ Ta có $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $\theta = \frac{\pi }{2}.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = 1$ và một acgumen $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $\varphi$ ${\varphi _1} = \frac{\pi }{8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\varphi _4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$
công thức moa vrơ
